王苏谈}《易》三爻的八卦布阵图
2024-03-11 08:03
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\title{六十四卦布阵图}
\{王苏谈}
\date{二〇二〇年九月八日}
\begin{}
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\{导言}
《易》是我国古老典籍，依托卦象，敷衍出许多观念来。迄今，人们所使用的汉语中，仍残存有一些词汇或表述等，来源於此。比如，乾坤，否极泰来，无妄之灾，亢龙有悔云云。
此前，笔者尝试用编写一个算卦程序，目前已基本实现其功能。然而在研究代码的过程中，笔者发现，若以二进制的视角来审视这些卦象，却能发现许多有趣的数学现象。
\{阴阳爻与〇一值}
对八卦，若我们按二进制的思路，视阴阳爻为0与1，视爻的从低到高为二进制位的从低到高，那么，所有八卦，以及所有六十四卦，皆可转化为\{二进制数值}，以下我们称之为\{卦值}。
举例来说，三爻的八卦，\{卦值}如下：
\begin{}
7 ☰ 乾 111
6 ☴ 巽 110
5 ☲ 离 101
4 ☶ 艮 100
3 ☱ 兑 011
2 ☵ 坎 010
1 ☳ 震 001
0 ☷ 坤 000
\end{}
0在别的情况下有时可约去，但此处它代表着阴爻，故不可省略。必须保证每位上（三位或六位）都有数字1或0。
为求简便直观六十四卦卦计算软件，我们可将上述三位二进制卦值，转换为十进制简便卦值。即以离卦为例，其二进制卦值为101，则其十进制上的简便卦值为$$1 \times 2 ^ 2 + 0 \times 2 ^ 1 + 1 \times 2 ^ 0 = 5.$$就上式而言，等号左边，即为三爻按其位高低而得出的三个数，表现为三个小式子。每个小式子的第一个数（位於乘号左边），即为阴阳爻，为0或1；乘号右边，是以2为底的幂，其指数各自对应着位数，即三爻的从低到高，不过此处其对应的值是0、1、2。之后，再将这三个式子的值加起来，就得到了特定卦（此处为离卦）的十进制卦值，比如5。三爻的八卦，其卦值已如上述，从大到小依次排列。其二进制卦值范围为000到111。相应的，其十进制卦值范围为0到7。注意，此处不是说「1到8」。二进制的000所对应的十进制是0。后面就能理解，\{用「0到7」来辅助理解，更为方便}。
\{六十四卦的二维坐标表示}
六十四卦，从卦象上看，即为二个八卦上下相叠而成，从二进制上看，即为二个三位二进制数前后相连而成。比如「革」，上卦为兑，其值为011（十进制上为3。下同），下卦为离，其值为101（为5）。据这种叠连的思路，我们突然就打开了新世界的大门。
现在，就可为六十四卦，构建一个特殊的坐标系，在此坐标系中，横轴上是上卦的值，纵轴上是下卦的值，横纵坐标上的这些值，从左到右、从上到下皆为从大到小，并且，为求简便直观，皆以十进制的简便值来表示，即「7，6，5，4，3，2，1，0」。然后，我们再据各六十四卦前三位二进制值与后三位二进制值，分别规定为其横纵坐标。比如，「革」的横坐标为3，纵坐标为5，那么其完整的坐标表示就是$(3, 5)$。
\begin{}
\begin{}{}
& 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
7 & 乾 & 小畜 & 大有 & 大畜 & 夬 & 需 & 大壮 & 泰 \\
6 & 姤 & 巽 & 鼎 & 蛊 & 大过 & 井 & 恒 & 升 \\
5 & 同人 & 家人 & 离 & 贲 & 革 & 既济 & 丰 & 明夷 \\
4 & 遁 & 渐 & 旅 & 艮 & 咸 & 蹇 & 小过 & 谦 \\
3 & 履 & 中孚 & 睽 & 损 & 兑 & 节 & 归妹 & 临 \\
2 & 讼 & 涣 & 未济 & 蒙 & 困 & 坎 & 解 & 师 \\
1 & 无妄 & 益 & 噬嗑 & 颐 & 随 & 屯 & 震 & 复 \\
0 & 否 & 观 & 晋 & 剥 & 萃 & 比 & 豫 & 坤
\end{}
\end{}
\{布阵图的常规内容}
这种坐标表示，以及由此得到的排列方式，笔者名之曰「六十四卦布阵图」者，有很大价值。
其一，以往我们初见一个卦名（指六十四卦），很难直观其卦象；现在，只要借助布阵图（并了解从二进制到十进制的转换），就能轻易画出其卦象。
现任择一卦，如「井」，则对应的坐标比如就是$(2, 6)$。将横纵坐标转化为二进制值，可得$(010, 110)$。按横纵次序，连起来这二个二进制坐标，得$$。已知，二进制值的位的从低到高，就是爻的从低到高，其值〇一就是爻的阴阳。现在，据上述六位二进制值，从低到高，按〇一对阴阳的关系，开始画六个爻，最终可得该卦卦象。
其二，反之，如果知道了一个卦象，就可做\{逆运算}：从六爻得六位二进制值；再按前后次序，截此二进制值为上下二部，各有三位；从三位二进制值得其二进制坐标，因而得其十进制简便坐标；查图，可得其位置，因而得其卦名。此处兹不举例。
其三，从布阵图中，可以轻易比较各卦值间的大小关系。
比如，试比较下述坐标的值：$(6, 4), (7,4), (6, 5), (6, 3), (5, 4)$。它们各自对应的卦为：渐，遁，家人，中孚，旅。我们以$(6, 4)$为本值，而其后四点环绕之。将这些坐标转化为二进制坐标，进而比较这五个二进制坐标所构成的六位二进制值。可得，就卦值而言：遁 > 家人 > 渐 > 中孚 > 旅。
在六位二进制值中，横坐标值居高位，有高阶的影响力，纵坐标值居低位，有低阶的影响力。这么算来：只要横坐标值较大，则其卦值必然较大；横坐标相同则比较纵坐标，纵坐标值较大者，其卦值亦较大。比如，盅的坐标为$(4, 6)$，而渐的坐标为$(6, 4)$，在横坐标上比，4小於6，故盅必小於渐。如斯云云。而且，这种大小关系，完全可在布阵图上\{递推}，非常有趣。
\{布阵图的高级内容}
若仅如此，恐仍有人觉得不过尔尔。然而此图的奥秘，绝非仅此而已。现在，请设想一下，如果我们按特定方式，\{逆反}某一卦，可得何卦。
逆反方式有三：
甲、六位二进制值完全逆序，比如，本值是$$，现逆反为$$；
乙、二个三位二进制值（卦象上即上下卦）前后顺序颠倒，其他不变六十四卦卦计算软件，比如，上述本值逆反为$$；
丙、卦值的01本身完全相反，即0变1，1变0，只变一次，这就相当於用$$减去本值，比如，$ - = $。
如果在布阵图上，以$$为例，做完上述三种逆反操作，突然，优美的\{对称关系}就赫然展现出来。我们能看到，本值以及三个逆反值，它们所形成的坐标，各自以轴之过乾坤者、轴之过否泰者，相互间对称。乾坤轴、否泰轴本身，又构建出一特定坐标系，并使上述四卦，分别落在四个象限，并且这四卦，也就是坐标系中的四点，其相互间的关系，就类似於：横纵坐标的绝对值不变，而其符号有正负四种情况。
\{所以，六十四卦布阵图，本身虽只由特定一种横纵关系而构成，已有一坐标系，但其中居然还暗藏着另一坐标系，可以体现卦象间的对称关系。}而且，两大坐标系，是以角度$45\$而叠合，也就是一个圆周角$360\$的$\frac{1}{8}$。
应该强调，这里所列举的逆反之卦，在传统的八卦解释上，多少也有涉及。但完全不如这里来得如此清晰而优美。尤为高超的是，在布阵图中，还能找出各卦在坐标系中的各种相对·绝对位置，甚至对称关系。
\{结语}
原本，笔者只是想用及其包，实现算卦功能。基本的思路，就是，先随机取二个0到7之间的十进制数，然后，将所取二数当作行列来索引，以从八卦和六十四卦的（数据框架）、前已整理完毕者之中，挑选出特定的卦名。设计程序的过程中，逐步发现了各种数学关系，遂深挖出各种成果。
笔者所发现的四卦对称关系，可谓我最得意的成果。若不是按六十四卦的阴阳爻来设定二进制值，并进而设计布阵图，恐怕没人能想得出来，卦象间居然还有如此美妙的数值关系·几何关系。
看来，运用好数学，真能提高学问的科学性。我们已在东方古老智慧上，确实地验证了这个说法。
\end{}
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